Механика Кинематика Динамика

Теорема о движении центра масс.

 1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим произвольную точку с номером k и с массой mk. Обозначим равнодействующие всех приложенных к данной точке внешних  и внутренних сил (как активных, так и пассивных)   и  соответственно. Основное закон динамики для этой точки будет иметь вид:

 . Передачи с винтовыми колесами Гиперболоидные зубчатые передачи В зубчатой передаче со скрещивающимися осями вращения колес относительное движение колес для данного мгновения может быть представлено как вращение вокруг мгновенной винтовой оси с одновременным скольжением вдоль нее.

Записывая аналогичные уравнения для каждой из n точек механической системы, получаем:

  (3.16) 

Уравнения (3.16) представляют собой уравнения движения механической системы в векторной форме. Если спроектировать данные уравнения на оси прямоугольной декартовой системы координат, то получим систему 3n дифференциальных уравнений, полностью описывающих движение всех точек механической системы. Проинтегрировав эти 3n дифференциальных уравнений второго порядка, мы найдем уравнения движения каждой точки и, следовательно, всей системы в целом. К сожалению, такой подход к решению большинства задач неприемлем как из-за чисто математической сложности (много уравнений), так и из-за того, что внутренние силы и реакции связей, как правило, неизвестны.

Однако в большинстве задач необходимость находить уравнения движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно определить какие-то суммарные характеристики движения системы в целом. Эти характеристики находятся с помощью общих теорем динамики, являющихся следствием уравнений (3.16). К числу общих теорем относятся:  теорема об изменении количества движения, теорема о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии. 

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости:

 

Направление вектора количества движения совпадает с направлением вектора скорости. Единица измерения - кг м/c.

Количеством движения механической системы называется векторная величина, равная геометрической сумме количеств движения всех ее точек:

 , (3.17)

Из определения центра масс механической системы (3.9) следует , что

 .

 Дифференцируя по времени, получаем:

  , (3.18)

где М - масса системы,  - скорость ее центра масс. Из формулы (3.18) следует, что количество движения системы полностью определяется движением ее центра масс. 

Рассмотрим понятие импульса силы. Очевидно, что эффект действия силы зависит не только от ее величины и направления, но и от продолжительности этого действия. Для учета последнего и вводятся понятия элементарного импульса силы и импульса силы за конечный промежуток времени.

Элементарным импульсом силы  называется векторная величина , равная произведению вектора силы  на элементарный промежуток времени ее действия dt:

 . (3.19)

Импульс силы за конечный промежуток времени [0, t] равен интегральной сумме ее элементарных импульсов за этот промежуток времени:

 . (3.20) 

Из (3.19) следует, что импульс силы измеряется в Н×с.

Перейдем к доказательству теоремы об изменении количества движения. Сложим все уравнения системы (3.16), внеся предварительно массы точек под знаки дифференциалов:

 . (3.21)

Меняя в (3.21) местами операции суммирования и дифференцирования, учитывая (3.17) и то, что главный вектор внутренних сил системы равен нулю, получаем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме:

 . (3.22)

Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

Разделяя в (3.22) переменные и интегрируя данное уравнение, получаем теорему об изменении количества движения в интегральной форме:

  ,

  . (3.23)

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Проецируя векторные уравнения (3.22) и (3.23) на оси прямоугольной декартовой системы координат, получаем скалярные аналоги теоремы об изменении количества движения, которые обычно используются для решения конкретных задач:

 . (3.24)

 . (3.25) 

Подставляя в (3.22) значение  из (3.18), получаем теорему о движении центра масс механической системы :

 , (3.26)

где M - масса механической системы,  - ускорение ее центра масс.

Таким образом, согласно (3.26): центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы под действием всех внешних сил, приложенных к данной системе.

Проектируя (3.26) на координатные оси, получаем дифференциальные уравнения движения центра масс:

 , . (2.27)

Доказанная теорема позволяет определять уравнения движения центра масс любой механической системы, исключив из рассмотрения все неизвестные внутренние силы (в правые части уравнений (3.26), (3.27) входят только внешние силы). Теорема о движении центра масс дает обоснование методам динамики точки. Из уравнений (3.26) следует, что решения, которые мы получаем, рассматривая тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела. Таким образом, если тело движется поступательно, то принимая его за материальную точку с массой, равной массе тела, мы не вносим никаких погрешностей. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда по условию решаемой задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела.

Следствиями доказанных теорем являются: закон сохранения количества движения и закон сохранения движения центра масс.

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то из уравнений (22) и (26) следует что количество движения системы остается неизменным, а центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно: ,

Если равна нулю проекция главного вектора на какую-либо ось (например ось x), то из уравнений (3.24) и (3.27) следует, что проекция количества движения, а также проекция скорости центра масс на эту ось остаются неизменными:

 .

Пример 1. Каков должен быть коэффициент трения скольжения при торможении автомобиля, если при скорости V=72 км/час он останавливается через 6 сек после начала торможения.

Решение. Воспользуемся первым из уравнений (3.25), в котором учтем, что если считать автомобиль материальной точкой массы m, то данное уравнение примет вид: , откуда находим 

 f =

Пример 2. На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В. Поперечные сечения призм - прямоугольные треугольникм. Вес призмы А второе больше веса призмы В. Предполагая, что призмы и горизонтальные плоскости идеально гладкие, определить длину l, на которую передвинется призма А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной поверхности.

Решение.  Рассмотрим систему состоящую из призм А и В. Так как нас интересует горизонтального смещения призма А, воспользуемся первым из уравнений (2.27). Проектируя все внешние силы (они показаны на рисунке) на ось x, получаем :   . Так как сумма проекций внешних сил на ось x равна нулю, то вдоль этой оси имеет место закон сохранения движения центра масс  а поскольку в начальный момент времени система была неподвижна, то С = 0 и  Последнее равенство означает, что при любых перемещениях призм центр масс системы вдоль оси x перемещаться не будет. Запишем теперь первую из формул (3.8), определяющую координату , для начального и конечного положения системы. Так как остается неизменной, имеем:

 

  где 

координаты центров масс призм А и В в начальный и конечный моменты времени. Вычитая из второго выражения первое и учитывая, что по условию Q = 3P, получаем:

 3PDxA +P[DxA+(a - b)]=0, откуда DxA= =(b -a)/4.

При записи выражения в квадратных скобках учтено, что горизонтальное перемещение центра масс призмы В - () состоит из суммы двух перемещений: относительного перемещения (а - b) и перемещения призмы А.

Задачи динамики и их решение
В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и во всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела или системы координатных осей, связанных с этим телом